miércoles, 29 de agosto de 2012
SOLIDOSDE REVOLUCION
DEFINICION
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución
CARACTERISTICAS Y ELEMENTOS DE LOS SOLIDOS DE REVOLUCION
1. Tiene superficies curvas. 2. Tiene infinitos planos de simetría que contienen al eje. 3. No tiene aristas y por lo tanto, sus superficies no son polígonos. 4. Son generados por una figura plana que gira (Figura generatriz) sobre un lado recto que hace de eje de simetría. 5. Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene un segmento perpendicular al eje, genera una cara circular. 6. Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene un segmento diagonal al eje, genera una zona cónica. 7. Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene un segmento paralelo al eje, genera una zona cilíndrica. 8. Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene media circunferencia, genera una zona esférica o semiesférica, de acuerdo con la posición de la semicircunferencia. 9. Una figura genera un sólido diferente si cambia el eje de rotación. Cualquier plano que pase por el centro de una esfera es un plano de simetría; y cualquier diámetro de la esfera es un eje de rotación. 10. Hay sólidos de revolución con un plano de simetría perpendicular al eje de rotación . .
FORMULAS
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: método de discos.
V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: V= 2\pi \int_a^b (x-k)[f(x) - g(x)]\,dx Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx Método de cilindros o capas.
Calculo de volumenes
Método del disco.
Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:
Volumen del disco = wR2π
Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.
jueves, 23 de agosto de 2012
Solidos de Revolucon
I.E CARLOS W SUTTON
AREA:
MATEMATICA
TRABAJO:
SOLIDOS DE REVOLUCION
PROFESOR :
DUBERLIN CAYETANO E.
APELLIDOS Y NOMBRES :
YUCRA PAREDES
MARI LUZ
GRADO Y SECCION : 5°D
AÑO
2012
solidos de revolucion
Concepto
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Volúmenes de solidos de revolución
Usaremos para el cálculo del volumen de revolución el llamado método de discos.
Observando que las secciones transversales que se generan son discos de radio r = f(x) con y recordando que el volumen de un cilindro es
Si rotamos la función y = f(x) alrededor del eje x , con x entre a y b, la integral siguiente
calcula el volumen del sólido generado.
Con la sentencia anterior podemos calcular el volumen poniendo en la opción output = integral y con la opción output = value calculamos el valor numérico de la integral.
Volumen de un sólido de revolución con cavidades
En los siguientes ejemplos desarrollados veremos dos dificultades en el cálculo del volumen, una es la rotación de un área a través de otro eje que no es el eje coordenado, y la otra dificultad es el cálculo de volúmenes de sólidos con cavidad, cuyas secciones transversales son coronas o arandelas.
Tendrá más éxito en hallar el volumen si le dedica tiempo necesario al dibujo de las figuras.
No improvise!! Sólo es necesario tener en cuenta cómo hallar el área de una sección transversal del sólido.
Observación: La variable de integración depende del eje alrededor del cual gira la región; la rotación alrededor del eje x requiere integración respecto de la variable x ; mientras que la rotación alrededor del eje y requiere integración respecto de la variable y.
Primer ejemplo:
Sea la región limitada por y=x e
miércoles, 22 de agosto de 2012
solidos de revolucion
solidos de revolucion
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución.
Cuando giramos una línea (curva o recta) alrededor de un eje, se genera una superficie de revolución. La línea que genera la superficie se llama generatriz. Las circunferencias perpendiculares al eje se llaman paralelos de la superficie. Los planos que contienen al eje cortan a la superficie determinando los meridianos.
Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo.
Se denomina sólido
de revolución o volumen de revolución, al sólido
Rotaciones alrededor de ejes cartesianos
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx
En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
método de discos. V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: V= 2\pi \int_a^b (x-k)[f(x) - g(x)]\,dx
Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx
Método de cilindros o capas.
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