miércoles, 22 de agosto de 2012

solidos de revolucion

solidos de revolucion Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución. Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución. Cuando giramos una línea (curva o recta) alrededor de un eje, se genera una superficie de revolución. La línea que genera la superficie se llama generatriz. Las circunferencias perpendiculares al eje se llaman paralelos de la superficie. Los planos que contienen al eje cortan a la superficie determinando los meridianos. Un volumen con forma de toro se obtiene por la rotación de un círculo. Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido Rotaciones alrededor de ejes cartesianos El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: método de discos. V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: V= 2\pi \int_a^b (x-k)[f(x) - g(x)]\,dx Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx Método de cilindros o capas.

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