SOLIDOSDE REVOLUCION DEFINICION Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que se contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndrica es un sólido de revolución. Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución CARACTERISTICAS Y ELEMENTOS DE LOS SOLIDOS DE REVOLUCION 1. Tiene superficies curvas. 2. Tiene infinitos planos de simetría que contienen al eje. 3. No tiene aristas y por lo tanto, sus superficies no son polígonos. 4. Son generados por una figura plana que gira (Figura generatriz) sobre un lado recto que hace de eje de simetría. 5. Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene un segmento perpendicular al eje, genera una cara circular. 6. Si la figura que lo genera  (Figura generatriz) tiene un segmento diagonal al eje, genera una zona cónica. 7. Si la figura que lo genera  (Figura generatriz) tiene un segmento paralelo al eje, genera una zona cilíndrica. 8. Si la figura que lo genera (Figura generatriz) tiene media circunferencia, genera una zona esférica o semiesférica, de acuerdo con la posición de la semicircunferencia. 9. Una figura genera un sólido diferente si cambia el eje de rotación.  Cualquier plano que pase por el centro de una esfera es un plano de simetría; y cualquier diámetro de la esfera es un eje de rotación. 10. Hay sólidos de revolución con un plano de simetría perpendicular al eje de rotación . . FORMULAS El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo K constante, viene dado por la siguiente fórmula genérica V= \pi \int_a^b ([f(x) - K]^2 - [g(x) - K]^2) \,dx En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula: método de discos. V= \pi \int_a^b f^2(x) \,dx Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y) Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un área comprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es: V= 2\pi \int_a^b (x-k)[f(x) - g(x)]\,dx Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido de revolución viene generado por:V= 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx Método de cilindros o capas. Calculo de volumenes Método del disco. Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = wR2π Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.